Question

如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A，
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，cosC=

4

5

，BC=5，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）要证BC是⊙O的切线；只需证明OB⊥BC即可，根据角之间的互余关系易得证明；
（2）首先由（1）得出三角形OBC是直角三角形，再由cosC=

4

5

，BC=5，求出CO和OB，即可求得AB，再由OC∥AD和∠DBC=∠A证得△OBC∽△ADB，从而求得AD的长．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠A=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠DBA=90°，
∴BC为⊙O切线；

（2）解：由（1）得△OBC为直角三角形，
又∵cosC=

4

5

，BC=5，
∴在Rt△OBC中，cosC=

BC

CO

，
∴CO=

BC

cosC

=

5

4 5

=

25

4

，
∴OB=

( 25 4 )2-52

=

15

4

，
∴AB=

15

2

．
∵OC∥AD，
∴∠BOC=∠A，
∠CBO=∠ADB=90°，
∴△OBC∽△ADB，
∴

AD

BO

=

AB

CO

，
∴AD=

AB•BO

CO

=

15 2 × 15 4

25 4

=

9

2

．

点评：此题考查的知识点是切线的判定与性质、圆周角定理及解直角三角形，关键是根据角之间的互余关系证明BC是⊙O的切线；再者是由已知解直角三角形且通过相似三角形求AD的长．