Question

阅读下面一段：
计算1+5+5²+5³…+5⁹⁹+5¹⁰⁰
观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
解：设S=1+5+5²+5³…+5⁹⁹+5¹⁰⁰，①
则5S=5+5²+…+5¹⁰⁰+5¹⁰¹，②
②-①得4S=5¹⁰¹-1，则S=

5101-1

4

．
上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
下面请你观察算式1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22000

是否具备上述规律？若是，请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果．

Answer 1

分析：由题中的例子知从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，等式两边同乘以5，观察知算式1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2200

从第二项起，每项都是它前面一项的

1

2

倍，运用类比的方法，等式两边同时乘以

1

2

，再利用错位相减法即可求得结果．

解答：解：此式具备上述规律
设S=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22000

，①
则

1

2

S=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

22001

，②
①-②得

1

2

S=1-

1

22001

，
解得S=2-

1

22000

．
故答案为：2-

1

22000

．

点评：此题重在提高大家的模仿与应用能力，运用已知的信息解答新型问题，要充分理解题中信息，并灵活运用．