Question

规定：把一次函数y=kx+b的一次项系数和常数项互换得y=bx+k，我们称y=kx+b和y=bx+k（其中k•b≠0，且|k|≠|b|）为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．如图，一次函数y=kx+b和它的互助一次函数的图象l₁，l₂交于P点，l₁，l₂与x轴，y轴分别交于A，B点和C，D点．
（1）如图（1），当k=-1，b=3时，
①直接写出P点坐标：P______；
②Q是射线CP上一点（与C点不重合），其横坐标为m，求四边形OCQB的面积S与m之间的函数关系式，并求当△BCQ与△ACP面积相等时m的值；
（2）如图（2），已知点M（-1，2），N（-2，0）．试探究随着k，b值的变化，MP+NP的值是否发生变化？若不变，求出MP+NP的值；若变化，求出使MP+NP取最小值时的P点坐标．

Answer 1

解：（1）①∵一次函数y=kx+b和它的互助一次函数的图象交于P点，
k=-1，b=3时，
∴，
解得：，
∴P（1，2）；           
故答案为：（1，2）；
              
②如图（1），连接OQ，
∵y=-x+3与y=3x-1的图象l₁，l₂与x轴，y轴分别交于A，B点和C，D点．
∴A（3，0），B（0，3），C（，0），D（0，-1）．                 
∵Q（m，3m-1），（），
∴S=S_△OBQ+S_△OCQ==． 
∴S_△BCQ=S-S_△BOC==，
而S_△ACP==，
由S_△BCQ=S_△ACP，得 =，
解得m=； 
                            
（2）由，
解得 ，即P（1，k+b），
∴随着k，b值的变化，点P在直线x=1上运动，MP+NP的值随之发生变化．
如图（2），作点N（-2，0）关于直线x=1的对称点N′（4，0），
连接MN′交直线x=1于点P，则此时MP+NP取得最小值．
设直线MN′的解析式为y=cx+d，依题意，
解得  ，
∴直线MN′的解析式为．                           
令x=1，则，
∴P（1，），
即 使MP+NP取最小值时的P点坐标为（1，）．
分析：（1）①当k=-1，b=3时得到两函数解析式，进而求出交点坐标即可；
②首先利用S=S_△OBQ+S_△OCQ=，得出S_△BCQ=S-S_△BOC=，再利用S_△ACP=，
由S_△BCQ=S_△ACP，得 =，进而得出答案；
（2）作点N（-2，0）关于直线x=1的对称点N′（4，0），连接MN′交直线x=1于点P，则此时MP+NP取得最小值，进而得出直线MN′的解析式求出P点坐标即可．
点评：此题主要考查了一次函数综合以及利用轴对称求最短路径问题和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用新定义理解互助一次函数定义是解题关键．