题目内容

已知，Rt△ABC在坐标系中，如图，∠A=90°，∠B=30°，C（-3，0），B（-9，0），
（1）将△ABC先向绕C顺时针旋转120°得到△A₁B₁C，则B₁ 的坐标为；
（2）将△ABC沿x轴向右平移m个单位得到△A₂ B₂C₁，当m=时，A₂在y轴上；
（3）画出△A₁B₁C和△A₂ B₂C₁，并求出它们的重叠部分的面积．

解：（1）由题意得BC=6，∵∠A=90°，∠B=30°
∴AC=3，
∴AB=3 $\text{[math]}$ ，
∵OB₁=AB，
∴B₁（0，3 $\text{[math]}$ ），
故答案为（0，3 $\text{[math]}$ ）；

（2）作AD⊥BC于点D，
∴BD=AB×cos30°= $\text{[math]}$ ，
∴OD= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ；

（3）易得y_B1C= $\text{[math]}$ x+3 $\text{[math]}$ ，y_A2B2= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$
∴点D的纵坐标为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）易得BC的长，利用30°的三角函数值可得AC及BC长，旋转120°后，B₁在y轴上，0B₁=AB长；
（2）得到点A的横坐标，平移的距离为点A的横坐标的绝对值；
（3）易得B₁C和A₂B₂的交点坐标，重叠部分的面积为S△A₂B₂O-S△B₂CD，把相关数值代入即可．
点评：本题综合考查旋转变换及平移变换问题；得到旋转或平移后相关点的坐标是解决本题的突破点．