Question

已知△ABC中，AB=AC，CH是AB边上的高，且CH=AB，则tanB=    ．

Answer 1

【答案】分析：作高AD，根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，设AB=5x，则CH=AB=3x，根据三角形面积公式有AD•BC=CH•AB，即2BD•AD=15x²，根据勾股定理得到BD²+AD²=AB²=25x²，然后进行等式变形有（BD+AD）²-2BD•AD=25x²，即（BD+AD）²-15x²=25x²，（BD-AD）²+2BD•AD=25x²，即（BD-AD）²+15x²=25x²，易得BD+AD=2x，BD-AD=x或AD-BD=x，可求出
BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，然后在Rt△ABD中根据正切的定义得到tanB=，再把DB与AD的值代入计算即可．
解答：解：如图，作高AD，
∵AB=AC，
∴BC=2BD，
设AB=5x，则CH=AB=3x，
∵AD•BC=CH•AB，
∴2BD•AD=15x²，
∵BD²+AD²=AB²=25x²，
∴（BD+AD）²-2BD•AD=25x²，即（BD+AD）²-15x²=25x²，
∴BD+AD=2x，
∴（BD-AD）²+2BD•AD=25x²，即（BD-AD）²+15x²=25x²，
∴BD-AD=x或AD-BD=x，
∴BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，
在Rt△ABD中，tanB=，
∴tanB==或tanB==3．
故答案为：或3．
点评：本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及代数式的变形能力．