Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为　（0，12）或（0，﹣12）　．

Answer 1

考点：

圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．

分析：

如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．

注意点C有两个．

解答：

解：设线段BA的中点为E，

∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）．

（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，

∵∠BCA为⊙P的圆周角，

∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．

过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，

在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7，

∴OC=OF+CF=5+7=12，

∴点C坐标为（0，12）；

（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．

故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．

点评：

本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．