Question

课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A₁AB₁=α（α＜∠A₁AB₁），θ₁，θ₂，θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；θ₆=______，
（2）图1中，连接AH时，在不添加其他辅助线的情况下，直线AH是否垂直平分线段A₂B₁？
答：______；请说明你的理由；
归纳与猜想
设正n边形AA₁A₂…A_n-1与正n边形AB₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁与B₁重合），现将正n边形AB₁B₂…B_n-1绕顶点A逆时针旋转α（）．
（3）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正三角形的性质得α+θ₃=60°，再由正方形的性质得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线AH垂直且平分的线段A₂B₁，由于△AA₁A₂与△AB₁B₂是全等的等边三角形，推得A₂H=B₁H，则点H在线段A₂B₁的垂直平分线上；由AA₂=AB₁，则点A0在线段A₂B₁的垂直平分线上，从而得出直线AH垂直且平分的线段A₂B₁
（3）规律：当n为奇数时，θ_n=-α；当n为偶数时，θ_n=α．
解答：解：（1）60°-α，α，36°-α．α；

（2）是                    
图1中直线AH垂直平分A₂B₁，证明如下：
证明：∵△AA₁A₂与△BB₁B₂是全等的等边三角形，
∴AA₂=AB₁，
∴∠AA₂B₁=∠AB₁A₂．
又∵△AA₁A₂与△AB₁B₂是等边三角形，
∴∠AA₂H=∠AB₁H=60°．
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂．
∴A₂H=B₁H．
∴点H在线段A₂B₁的垂直平分线上．
又∵AA₂=AB₁，
∴点A在线段A₂B₁的垂直平分线上．
∴直线AH垂直平分A₂B₁． 

（3）当n为奇数时，；   
当n为偶数时，θ_n=α．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．