Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD＝2 ， AB＝1．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（　　）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②错误,AB＝1，则AD＝2，得到DM＝AD＝，根据勾股定理得到CM＝＝，根据射影定理得到CP＝＝，得到PC＝MP，故③错误；求得PB＝AB=，故④正确，根据平行线等分线段定理得到CF＝PF，求得点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确．

解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，

∴∠DMC＝∠EMC，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

∴∠AMP＝∠EMP，

∵∠AMD＝180°，

∴∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，

∴△CMP是直角三角形；故①正确；

∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，

∴∠D＝∠MEC＝90°，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

∴∠MEG＝∠A＝90°，

∴∠GEC＝180°，

∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；

∵AD＝2AB，

∵AB＝1，则AD＝2，

∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

∴DM＝AD＝

∴CM＝＝，

∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，

∴CM2＝CNCP，

∴CP＝＝，

∴PN＝CPCN＝

∴PM＝=

∴，

∴PC＝MP，故③错误；

∵PC＝AB=，

∴PB＝-=

故④正确，

∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，

∴CE＝EG，

∵∠CEM＝∠G＝90°，

∴FE∥PG，

∴CF＝PF，

∵∠PMC＝90°，

∴CF＝PF＝MF，

∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；

故选：B．