Question

已知：抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A（1，0），B（3，0）．
（1）试确定抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，y的正半轴上有一动点P，当△POA∽△ADC时，试确定P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把A、B代入y=ax²+bx+6，即可求出抛物线解析式和顶点坐标；
（2）分两种情况讨论，①∠DAC=∠OAP，②∠DAC=∠OPA，利用相似三角形的性质求出OP，继而得出点P的坐标．

解答：解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+6得：

a+b+6=0 9a+3b+6=0

，
解得：

a=2 b=-8

，
则抛物线解析式为：y=2x²-8x+6，
顶点式为：y=-2x²-4x+6=2（x-2）²-2，
故顶点C的坐标是（2，-2）；

（2）①若∠DAC=∠OAP，此时△ACD∽△APO，

CD

PO

=

AD

AO

，即

2

PO

=

1

1

，
解得PO=2，
故此时点P的坐标为（0，2）；
②∠DAC=∠OPA，此时点P的位置在P'点上，此时△ACD∽△P'AO，

CD

AO

=

AD

P′O

，即

1

1

=

1

P′O

，
解得：P'O=1，
故此时点P'的坐标为（0，1）；
综上可得点P的坐标为（0，2）或（0，1）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质，难点在第二问，关键是注意分类讨论，避免漏解．