Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

考点：

相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

分析：

（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．

解答：

（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠APQ=∠C．

在△APQ与△ABC中，

∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠BPQ为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．

由（1）可知，△APQ∽△ABC，

∴，即，解得：PB=，

∴AP=AB﹣PB=3﹣=；

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，点B为线段AB中点，

∴AP=2AB=2×3=6．

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．

点评：

本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．