Question

已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN= 45º，它的两边，边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

 (1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

    （2）如图2，已知∠BAC =45º，.AD⊥BC于点D，且BD =2，CD =3，求AD的长．

    小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题。你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

Answer 1

（1）答：AB＝AH. ……………………1分

证明：延长CB至E使BE=DN，连结AE

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，

∴∠ABE=180°－∠ABC＝90°

又∵AB＝AD

∴△ABE≌△AEN（SAS）……………………3分

∴∠1＝∠2，AE=AN

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°

∴∠1+∠3＝90°－∠MAN＝45°

∴∠2+∠3＝45°

即∠EAM=45°

又AM=AM

∴△EAM≌△NAM（SAS）……………………5分

又EM和NM是对应边

∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）……………………6分

(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°

∴∠E＝∠F＝90°，

又∠BAC=45°

∴∠EAF=90°

延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，

又AE=AD=AF

∴四边形AEGF是正方形……………………8分

由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3

设AD＝，则EG=AE=AD=FG＝

∴BG＝－2；CG＝－3；BC＝2+3＝5

在Rt△BGC中，……………………9分

解之 得，（舍去）

∴AD的长为6…………………………………………10分