Question

如图，在?ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，有下列结论：
①S_△ADF=2S_△BEF；②BF=

1

2

DF；③四边形AECD是等腰梯形；④∠AEB=∠ADC．
其中不正确的是

 

．

Answer 1

分析：根据平行四边形的性质可得到BE∥AD，AD=BC，进而得到△BFE∽△DFA，再根据相似三角形的性质可判断①错误，②正确；
根据等腰梯形的判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形可判定③正确；
根据等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上两个角相等可判定∠ADC=∠DAE，再根据平行线的性质可得到∠AEB=∠DAE，进而可判定④正确．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥AD，AD=BC，
∴△BFE∽△DFA，
∴

BE

AD

=

BF

FD

，
∵E是BC的中点，
∴BE=

1

2

CB=

1

2

AD，
∴

BF

DF

=

1

2

，

S△BEF

S△ADF

=(

BE

AD

)2=

1

4

，
∴①S_△ADF=4S_△BEF错误；
∴②BF=

1

2

DF正确；

∵EC＜BC，
∴EC＜AD，
∵AD∥EC，
∴四边形AECD是梯形，
∵∠AEC=∠DCE，
∴③四边形AECD是等腰梯形正确；
 
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠ADC=∠DAE，
∵AD∥EC，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠AEB=∠ADC，
故④正确．
故答案为：①S_△ADF=2S_△BEF．

点评：此题主要考查了等腰梯形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，关键是熟记等腰梯形的判定定理以及平行四边形的性质定理．