Question

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE＝45°(A，D，E按逆时针方向)．

(1)如图，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．

①求证：△ABD∽△DCE；

②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

(2)①如图，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点，是否存在点D，使△AD是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

①证明：在中，∵ 　　∴∠B＝∠C＝45°又∠ADE＝45° 　　∴∠ADB＋∠EBC＝∠EBC＋∠DEC＝135° 　　∴∠ADB＝∠DEC　1分 　　∴　2分 　　②当是等腰三角形时，分以下三种情况讨论 　　第一种情况：DE＝AE 　　∵DE＝AE 　　∴∠ADE＝∠DAE＝45° 　　∴∠AED＝90°，此时，E为AC的中点， 　　∴AE＝AC＝1．　3分 　　第二种情况：AD＝AE(D与B重合) 　　AE＝2 　　第三种情况：AD＝AE 　　如果AD＝DE，由于， 　　∴△ABD≌△DCE， 　　∴BD＝CE，AB＝DC，设BD＝CE＝ 　　在中，∵， 　　∴BC＝，DC＝－ 　　∴－＝2，解得，＝－2， 　　∴AE＝4－2 　　综上所述：AE的值是1，2，4－2　4分 　　(2)①存在． 　　当D在BC的延长线上，且CD＝CA时，是等腰三角形．　5分 　　证明：∵∠ADE＝45°＝∠ACB＝∠DC， 　　∴∠ADC＋∠EDC＝∠EDC＋∠DEC＝135°， 　　∴∠ADC＝∠DEC，又CD＝CA， 　　∴∠CAD＝∠CDA， 　　∴∠CAD＝∠CED， 　　∴DA＝D， 　　∴是等腰三角形．　6分 　　②不存在． 　　因为∠ACD＝45°＞∠E，∠ADE＝45° 　　∴∠ADE≠∠E 　　∴不可能是等腰三角形．　7分