题目内容

点A（4，0），B（0，3）与点C构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数 $数学公式$ 的图象上，求k可能取的一切值．

解：点A和点B之间的距离是5，所以它们之间的连线是直角三角形的斜边．设点C的坐标为（a，b），
则 $\text{[math]}$ ①，或者 $\text{[math]}$ ②，
对于①，有 $\text{[math]}$ ，
两式相减得：8a-6b-14=0，
因此b= $\text{[math]}$ （4a-7），
将它代入①中的第二个式子，得： $\text{[math]}$ ，
解得 a=4，或a= $\text{[math]}$ ，
对应 b的值是 3或 $\text{[math]}$ ，
所以点C的坐标是（4，3）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
对应的k 的值是12或 $\text{[math]}$ ．
对于．②，有 $\text{[math]}$ ，
两式相减，得 8a-6b=0．
因此，b= $\text{[math]}$ a．
将它代入（2）的第一个式子，得
$\text{[math]}$ a（25a-72）=0．
解得 a=0或a= $\text{[math]}$ ，
对应的b的值是0或 $\text{[math]}$ ．
因为原点不可能在反比例函数的图象上，所以点C的坐标是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），对应的k的值是 $\text{[math]}$ ．
综上所述，k的值是12或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：根据题目中的条件知：点A与点B的连线是直角三角形的斜边，设出点C的坐标，根据以上条件列出关于a、b的方程组将点C的坐标求出来即可．
点评：本题考查了反比例函数的知识，但在本题中出现了二元二次方程组的知识，学生在应用时往往会出现缩手缩脚的现象，其实在解题时能转化为普通的二元一次方程组来解．