Question

如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2、图3、图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．

理解与作图：

（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．

计算与猜想：

（2）求图2、图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小明同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小明同学给我们的启发，再添加适当的辅助线证明（2）中的猜想．

Answer 1

（1）解：作图如下：

…………………………………………………………………………………………（2分）

（2）解：在图2中，EF=FG=GH=HE=

∴EF=MF，EC=MC

同理：NH=EH，NB=EB

∴MN=2BC=16

∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠N=90°﹣∠3

∴∠M=∠N．∴GM=GN

过点G作GK⊥BC于K，则KM=MN=8

∴

∴四边形EFGH的周长为2GM=8………………………………………………（12分）

证法二：∵∠1=∠2，∠1=∠5

∴∠2=∠5

而FC=FC

∴Rt△FCE≌Rt△FCM

∴EF=MF，EC=MC

∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠HEB=90°﹣∠4

而∠1=∠4

∴∠M=∠HEB

∴HE∥GF

同理：GH∥EF

∴四边形EFGH是平行四边形

∴FG=HE

而∠1=∠4

∴Rt△FDG≌Rt△HBE

∴DG=BE

过点G作GK⊥BC于K，则KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8

∴

∴四边形EFGH的周长为2GM=8………………………………………………（12分）