Question

【题目】如图，点A在函数y=（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．

（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；

（2）试问：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．

（3）试说明：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．

Answer 1

【答案】（1）B点坐标为（，4）；

（2）即△ABC的面积不发生变化，其面积为；

（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y=可求得B点坐标；

（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；

（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

解析：（1）∵点C在y=的图象上，且C点横坐标为1，

∴C（1，1），

∵AC∥y轴，AB∥x轴，

∴A点横坐标为1，

∵A点在函数y=（x＞0）图象上，

∴A（1，4），

∴B点纵坐标为4，

∵点B在y=的图象上，

∴B点坐标为（，4）；

（2）设A（a，），则C（a，），B（，），

∴AB=a﹣=a，AC=﹣=，

∴S△ABC=ABAC=，

即△ABC的面积不发生变化，其面积为；

（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，

∵AB∥x轴，

∴△ABC∽△EFC，

∴，即，

∴EF=a，

由（2）可知BG=a，

∴BG=EF，

∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．