Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（﹣3，0），C（1，0）， ∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，B点坐标为（1，3）， 设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b， 由得，， ∴直线AB的函数表达式为 （2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D， 在Rt△ABC和Rt△ADB中， ∵∠BAC=∠DAB， ∴Rt△ABC∽Rt△ADB， ∴D点为所求， 又tan∠ADB=tan∠ABC=， ∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷， ∴OD=OC+CD=，∴D（，0）； （3）这样的m存在． 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5， 如图1， 当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则， 解得， 如图2， 当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB， 则， 解得．