Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2

3

，0），⊙P刚好与x轴相切于点A，⊙P交y的正半轴于点B，点C，且BC=4．
（1）求半径PA的长；
（2）求证：四边形CAPB为菱形；
（3）有一开口向下的抛物线过O，A两点，当它的顶点不在直线AB的上方时，求函数表达式的二次项系数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）作BC的弦心距PD，则PD的长等于2

3

，BD=

1

2

BC，利用勾股定理即可求出；
（2）AP与BC平行且相等，所以是平行四边形，又AP=PB，所以是菱形；
（3）先求出点B的坐标（0，6），写出直线AB的解析式，再求出x=-

3

时的函数值大于抛物线的最大值，求解不等式．

解答：（1）解：作PD⊥BC于D，根据题意PB=

PD2+BD2

=

(2 3 )2+22

=4，
∴半径PA=PB=4．

（2）证明：∵⊙P刚好与x轴相切于点A
∴PA⊥x轴，
∴PA∥BC，
∵PA=BC=4，
∴四边形CAPB是平行四边形．
又∵AP=PB，
∴平行四边形CAPB为菱形．

（3）解：∵BD=2，
∴点B的坐标为B（0，6），
设直线AB的解析式为y=kx+b则

b=6 -2 3 k+b=0

，
解得

k= 3 b=6

，
∴解析式是y=

3

x+6．
当x=-

3

时，y=3，
此时设抛物线为y=ax²+bx+c，
根据题意

(-2 3 )2a+(-2 3 )b+c=0 c=0

解得b=2

3

a，
∴

4ac-b2

4a

=-3a＜3，
解得a＞-1，
又∵抛物线开口向下，
∴-1＜a＜0．

点评：本题考查了菱形的判定和待定系数法求函数解析式，还有二次函数的最值问题，数形结合也是考查点之一，所以本题综合性较强，对学生要求比较高，因此要求在平时的学习中要不断培养自己的解题能力，提高数学素养．