题目内容

如图，AD是⊙O的直径，过⊙O上一点E作直线l，交AD的延长线如点B，AC⊥l于点C，AC交⊙O于点G，E为 $数学公式$ 的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC+GC=5，⊙O的半径为r，求代数式 $数学公式$ + $数学公式$ 的值．

（1）证明：连接OE，GD交于F．
∵AD是⊙O的直径，
∴OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵E为 $\text{[math]}$ 的中点，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠GAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠GAE，
∴OE∥AC，
又AC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OE∥AC，OD=OA，
∴OF三角形AGD的中位线，
∴OF=r-EF= $\text{[math]}$ （AC-CG）= $\text{[math]}$ （AC+GC-2GC）= $\text{[math]}$ ×5-GC= $\text{[math]}$ -GC，
则r= $\text{[math]}$ ．
把r= $\text{[math]}$ 代入代数式 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 得：
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
所以代数式 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的值为4 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接OE，OE=OA，则得∠OEA=∠OAE，又由，E为 $\text{[math]}$ 的中点，推出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以∠GAE=∠OAE，则∠OEA=∠GAE，所以OE∥AC，因此OE⊥BC，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）由（1）证得OE∥AC，OD=OA，所以OF是三角形ADG的中位线，所以可求出r，从而求出代数式 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的值．
点评：此题考查的知识点是切线的判定、等腰三角形的判定与性质，关键（1）是先由半径的等腰三角形得角相等，等弧的圆周角相等，得OE∥AC，即得AC⊥BC，从而得证；（2）关键是先证得OF是三角形AGD的中位线，从而求出半径r．