题目内容
某环形跑道上顺时针排列有4所中学：A1、A2、A3、A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台，为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电，则满足要求的调配方案中调出彩电台数最少时的台数为
10
10
台．分析：设A1中学调出给A2中学X1台，本例要求Y=|X1|+|X1-2|+|X1-7|+|X1-5|的最小值，当2≤X1≤5时，Y取值最小，调出彩电的最少总台数为10，则共有4种调出方案．
解答：解：设A1中学调给A2中学x1台彩电（若x1为负数，则认为是A2中学向A1中学调出|x1|台彩电，以下同）
A2中学调给A3中学x2台彩电；A3中学调给A4中学x3台彩电；A4中学调给A1中学x4台彩电．?
∵彩电共有15+8+5+12=40台，平均每校10台
∴15-x1+x4=10，8-x2+x1=10，5-x3+x2=10，12-x4+x3=10∴x4=x1-5，x1=x2+2，x2=x3+5，x3=x4-2∴x4=x1-5，x2=x1-2，x3=x2-5=x1-2-5=x1-7
∵y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|的最小值．
其中x1是满足-8≤x1≤15的整数．
设x1=x，考虑定义在-8≤x≤15上的函数y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|．
∵|x|+|x-7|表示数x到0与7的距离之和，当0≤x≤7时，|x|+|x-7|取得最小值7；
同理，当2≤x≤5时，|x-2|+|x-5|取得最小值3，
故当2≤x≤5时，y取最小值10，即当x=2，3，4，5时，
|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|取最小值10．所以，调出彩电最少总台数为10．
A2中学调给A3中学x2台彩电；A3中学调给A4中学x3台彩电；A4中学调给A1中学x4台彩电．?
∵彩电共有15+8+5+12=40台，平均每校10台
∴15-x1+x4=10，8-x2+x1=10，5-x3+x2=10，12-x4+x3=10∴x4=x1-5，x1=x2+2，x2=x3+5，x3=x4-2∴x4=x1-5，x2=x1-2，x3=x2-5=x1-2-5=x1-7
∵y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|的最小值．
其中x1是满足-8≤x1≤15的整数．
设x1=x，考虑定义在-8≤x≤15上的函数y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|．
∵|x|+|x-7|表示数x到0与7的距离之和，当0≤x≤7时，|x|+|x-7|取得最小值7；
同理，当2≤x≤5时，|x-2|+|x-5|取得最小值3，
故当2≤x≤5时，y取最小值10，即当x=2，3，4，5时，
|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|取最小值10．所以，调出彩电最少总台数为10．
点评：本题考查了函数最值问题，是一道比较难的考题．
练习册系列答案
全优点练单元计划系列答案
相关题目