Question

【题目】已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．

（1）如图1，当∠BAC＜45°时，

①求证：DF⊥AC；

②求∠DFB的度数；

（2）如图2，当∠BAC＞45°时，

①请依题意补全图2；

②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②45°；（2）①见解析②FC－FE＝FB

【解析】

（1）①根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，再根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明；

②证法一：先证明A，D，B，F四点均在以AB为直径的圆上，再连接AD，证明△ABD是等腰直角三角形即可；证法二：在DE上截取DG=AF，连接BG，根据SAS可证△ABF≌△DBG，再利用全等三角形的性质证明△GBF是等腰直角三角形，问题即得解决；

（2）在CF上截取CG=EF，连接BG，利用SAS可证△BCG≌△BFE，再利用全等三角形的性质证明△GBF是等腰直角三角形，进一步即可得出结论.

（1）①证明：如图1，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得△DBE，由旋转性质得，△ABC≌△DBE，

∴∠1＝∠2，AB=DB，∠ABC=∠DBE=90°，

∵∠1＋∠C＝90°，

∴∠2＋∠C＝90°，

∴∠DFC＝90°，即DF⊥AC；

②解法一：如图3，连接AD，∵ DF⊥AC，∠DBE=90°，∴ ∠DFA= 90°，

∴A，D，B，F四点均在以AB为直径的圆上，

∵AB=DB ，∠DBE=90°，∴ ∠DAB=45°，

∴∠DFB＝∠DAB＝45°；

解法二：如图3，在DE上截取DG=AF，连接BG，

在△ABF和△DBG中，

∴△ABF≌△DBG，

∴BF＝BG，∠ABF＝∠DBG，

∵∠DBA＝90°，∴∠GBF＝90°，

∴△GBF是等腰直角三角形，

∴∠DFB＝45°；

（2）补全图2，如图4；FC－FE＝FB．

证明：如图，在CF上截取CG=EF，连接BG，

在△BCG和△BFE中，

∴△BCG≌△BFE，∴BF＝BG，∠CBG＝∠EBF,

∵∠ABC＝90°，∴∠GBF＝90°，

∴△GBF是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ FC－FE＝FC－CG=.