Question

【题目】实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，请完成下列任务：
（1）在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在ABCD的边上；在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在ABCD的边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请在图形下方横线处直接写出你按（1）中要求作出的菱形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

（2）解：如图1，作ABCD的高AH．

在直角△ABH中，∵AB=4，∠ABC=60°，

∴AH=ABsin60°=4× =2 ，BH=ABcos60°=4× =2，

∴S菱形ABEF=BEAH=4×2 =8 ；

如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2 ．

在直角△BDM中，∵∠M=90°，

∴BD= = =2 ．

设BF=x，CF=y，则DF=x，

由题意得 ，

解得 ，

∴OF= = = ，

∴S菱形ABEF= BDEF= ×2 × = ．

【解析】（1）如图1，在AD、BC上分别截取AF=BE=4，连结EF，则四边形ABEF是菱形；如图2，连结BD，作BD的垂直平分线，交AD于E，BC于F，则四边形BEDF是菱形；（2）如图1，作ABCD的高AH，根据菱形的面积=底×高列式计算即可；如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2 ．分别求出BD与EF，根据菱形的面积=两对角线乘积的一半列式计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对菱形的性质的理解，了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．