Question

已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ∽△PHA，则点P的坐标为    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据点A、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当HQ在点B的左侧时和QH在点B的右侧时利用相似三角形的性质就可以求出点P的坐标．
解答：解：∵OC=2，OA=4，
∴C（0，2），A（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得，
故直线AC的解析式为：y=-x+2．
如图2，在点B的右侧，当△BQP∽△AHP时，
则，
则BQ．PH=AH．PQ．
∵点P在直线AC上，设点P的坐标为（x，-x+2）（0＜x＜4），
∴CQ=x，OH=x，PH=-x+2，
∵CB=2，OA=4，OH=2，
∴BQ=x-2，AH=4-x，PQ=x．
∴（x-2）（-x+2）=（4-x）（x），
解得x=4（舍去）．
当△BQP∽△PHA时，
则，即BQ．AH=PH．PQ，
（x-2）（4-x）=（-x+2）（x），
解得x₁=，x₂=4（舍去）
则y=，
则P（，）．
∴P（，）．
故答案为：P（，）．

点评：本题是一道相似三角形的综合试题，考查了相似三角形的性质的运用，待定系数法求直线的解析式的运用及分类讨论思想的运用．本题难度较大，涉及的情况较多，解答时不要漏解．