Question

已知关于的方程：①和②，其中.
（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；
（2）设二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将、两点按照相同的方式平移后，点落在点处，点落在点处，若点的横坐标恰好是方程②的一个根，求的值；
（3）设二次函数，在（2）的条件下，函数，的图象位于直线左侧的部分与直线（）交于两点，当向上平移直线时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则的值是________________.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）3；（3）.

解析试题分析：（1）证明方程根的判别式大于0即可.
（2）根据平移的性质，得到点平移后的坐标，由点的横坐标恰好是方程②的一个根，代入求解即可.
（3）求出过两抛物线的顶点的直线的即为所求.
试题解析：（1），
由知必有，故.
∴方程①总有两个不相等的实数根.
（2）令，依题意可解得，.
∵平移后，点落在点处，
∴平移方式是将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.
∴点按相同的方式平移后，点为.
则依题意有.
解得，（舍负）.
∴的值为3.
（3）在（2）的条件下，，
两抛物线的顶点坐标分别为，则过这两点的直线解析式为.
∴.

考点：1.一元二次方程根的判别式；2.二次函数的性质；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.平移的性质.