题目内容

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S₁，取BE的中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF．得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂，照此规律，则S₂₀₁₂=________．

$\text{[math]}$
分析：求出△ABC的面积是 $\text{[math]}$ ，求出DE是三角形ABC的中位线，根据相似三角形的性质得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出S_△CDE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，S_△BEF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，求出S₁= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，同理S₂= $\text{[math]}$ ×S_△BEF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，S₃= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×S₄= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，推出S₂₀₁₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×…× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （2011个 $\text{[math]}$ ），即可得出答案．
解答：∵BC的中点E，ED∥AB，
∴E为BC中点，
∴DE= $\text{[math]}$ AB，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
∵△ABC的面积是 $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_△CDE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
推理 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_△BEF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
∴S₁=1- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
同理S₂= $\text{[math]}$ ×S_△BEF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
S₃= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
S₄= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
…，
S₂₀₁₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×…× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （2011个 $\text{[math]}$ ），
= $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是总结出规律，题目比较好，但是有一定的难度．