Question

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂切于点P，外公切线AB与连心线O₁O₂相交于点C，A、B是切点，D是AP延长线上的点，满足

AP

AB

=

AC

AD

=

4

5

．
求：（1）cosD；（2）S⊙O1：S⊙O2的值．

Answer 1

分析：（1）过P作两圆的内公切线交AB于Q，连接PB．得到QA=QP=QB，根据∠APB=90°

AP

AB

=

AC

AD

，得到△CAD∽△PAB，推出∠ACD=∠APB=90°设AC=4t，AD=5t，则CD=3t，即可求出答案；
（2）在Rt△APB中，设AP=8a，AB=10a，则PB=6a．作O₁E⊥AP于E，O₁F⊥BP于F，得到EP=

1

2

AP=4a，FP=3a，根据∠FO₂P=∠APB=∠D，推出Rt△PFQ₂∽Rt△ACD，得到

FO2

PF

=

CD

CA

=

3

4

，根据O₁E∥PF，得到△EO₁P∽△FPO₂，求

O1P

O2P

，根据相似三角形的性质即可求出答案．

解答：解：（1）过P作两圆的内公切线交AB于Q，连接PB．
∵AB是两圆的外公切线，
∴QA=QP=QB，
∴∠APB=90°
∵

AP

AB

=

AC

AD

，即

AD

AB

=

AC

AP

，∠CAD=∠PAB，
∴△CAD∽△PAB，
∴∠ACD=∠APB=90°，
在Rt△ACD中，令AC=4t，AD=5t，则CD=3t，
∴cosD=

CD

AD

=

3

5

，
答：cosD=

3

5

．

（2）解：在Rt△APB中，设AP=8a，AB=10a，则PB=6a．
作O₁E⊥AP于E，O₂F⊥BP于F，
则EP=

1

2

AP=4a，FP=3a，
在Rt△PO₂F中，∠FO₂P=∠D，∠PFO₂=∠ACD=90°，
∴△PFO₂∽△ACD，
∴

FO2

PF

=

CD

CA

=

3

4

，
∵PF=3a，
∴FO₂=

9

4

a，
又O₁E∥PF，∠EO₁P=∠FPO₂，
∴△EO₁P∽△FPO₂，
∴

O1P

O2P

=

PE

O2F

=

4a

9 4 a

=

16

9

，
∴

S⊙o1

S⊙o2

=(

o1P

o2P

)2=

256

81

，
答：S⊙O1：S⊙O2的值是

256

81

．

点评：本题主要考查对切线长定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键，题型较好，综合性强，难度适中．