题目内容
当任意k个连续的正整数中都必有一个正整数，它的数字之和是11的倍数时，我们把其中每个连续k个正整数的片断都叫做一条长度为k的“龙”，求最短的“龙”的长度．
分析：首先证k≤28时，题设的性质不成立，由当k=28时，对于1，2，3，4，…，28这28个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被11整除，即可得k≤28时，题设的性质不成立；然后证k=29时，题设的性质成立，由于设a1，a2，…，a29为任意的连续29个正整数，则这29个正整数中，个位数字为0的整数最多有三个，最少有两个，所以分别从当a1，a2，…，a29中个位数字为0的整数有三个、两个，个位数字为0的整数时去分析即可求得答案．
解答：解：先证k≤28时，题设的性质不成立．
当k=18时，对于1，2，3，…，28这28个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被11整除．
故k≤28时，题设的性质不成立．
因此，要使题设的性质成立，应有k≥29．
再证k=29时，题设的性质成立．
设a1，a2，…，a29为任意的连续29个正整数，则这29个正整数中，个位数字为0的整数最多有三个，最少有两个，可以分为：
（1）当a1，a2，…，a29中个位数字为0的整数有三个时，
设ai＜aj＜am，且ai、aj、am的个位数字为0，则满足ai，ai+1，…，ai+9，aj+1…am为连续的20个整数，其中ai，ai+1，…，ai+9，am无进位．
设ni表示ai各位数字之和，则前20个数各位数字之和分别为ni，ni+1，…，ni+11．
故这连续的20个数中至少有一个被11整除．
（2）当a1，a2，…，a29中个位数字为0的整数有两个时（记为ai），
①若整数i满足1≤i≤11时，则在ai后面至少有18个连续整数，于是ai，ai+1，…，ai+11这18个连续整数的个位数字之和也为11个连续整数，所以，必有一个数能被11整除．
②若整数i满足12≤i≤29时，则在ai前面至少有12个连续整数，不妨设ai-12，ai-11，…，ai-1这12个连续整数的个位数字之和也为12个连续整数，所以，必有一个数能被11整除．
综上，对于任意29个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是11的倍数．
而小于28个的任意连续整数不成立此性质．
∴k的最小值是29．
当k=18时，对于1，2，3，…，28这28个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被11整除．
故k≤28时，题设的性质不成立．
因此，要使题设的性质成立，应有k≥29．
再证k=29时，题设的性质成立．
设a1，a2，…，a29为任意的连续29个正整数，则这29个正整数中，个位数字为0的整数最多有三个，最少有两个，可以分为：
（1）当a1，a2，…，a29中个位数字为0的整数有三个时，
设ai＜aj＜am，且ai、aj、am的个位数字为0，则满足ai，ai+1，…，ai+9，aj+1…am为连续的20个整数，其中ai，ai+1，…，ai+9，am无进位．
设ni表示ai各位数字之和，则前20个数各位数字之和分别为ni，ni+1，…，ni+11．
故这连续的20个数中至少有一个被11整除．
（2）当a1，a2，…，a29中个位数字为0的整数有两个时（记为ai），
①若整数i满足1≤i≤11时，则在ai后面至少有18个连续整数，于是ai，ai+1，…，ai+11这18个连续整数的个位数字之和也为11个连续整数，所以，必有一个数能被11整除．
②若整数i满足12≤i≤29时，则在ai前面至少有12个连续整数，不妨设ai-12，ai-11，…，ai-1这12个连续整数的个位数字之和也为12个连续整数，所以，必有一个数能被11整除．
综上，对于任意29个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是11的倍数．
而小于28个的任意连续整数不成立此性质．
∴k的最小值是29．
点评：此题考查了整数问题的综合应用．此题难度较大，解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．
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