Question

已知二次函数y=(a-

b

2

)x2-cx-a-

b

2

，当x=1时有最小值-

8

5

b，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．

Answer 1

分析：根据顶点横坐标公式，得b+c=2a①，由x=1，y=-

8

5

b，得c=

3

5

b②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状；再根据锐角三角函数的定义求出∠A的余弦值．

解答：解：（1）∵当x=1时有最小值，
∴

b+c=2a c= 3 5 b

，
解得c=

3

5

b，a=

4

5

b，
∴a²+c²=b²，
∴△ABC是直角三角形．

（2）∵在△ABC中，∠B=90°，
∴cosA=

c

b

=

3

5

．

点评：本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的逆定理及余弦函数的定义．