Question

已知点P（37，27），过P点的直线交x轴、y轴的正半轴于A、B，则△ABO面积的最小值是（　　）

• A、2003
• B、2002
• C、2000
• D、1998

Answer 1

分析：首先假设出直线解析式，再利用图象与坐标轴交点坐标求法得出A，B两点的坐标，利用面积求法得出关于k的等式，再利用一元二次方程根的判别式求出S的取值范围，即可得出面积最小值．

解答：解：假设过点P（37，27）的直线方程为y-27=k（x-37），
∴直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A（37-

27

k

，0），B（0，27-37k），
由已知过P点的直线交x轴、y轴的正半轴于A、B，
∴k＜0，记△ABO的面积为S，
则S=

1

2

（37-

27

k

）（27-37k），
化简得：Sk=

1

2

（37k-27）（27-37k），
∴2Sk=-（37k-27）²，
∴1369k²-（2S-74×27）k+729=0，
上式可以视为关于k的一元二次方程，
∴△≥0，
∴△=（2S-74×27）²-4×1369×729≥0，
∴（2S-74×27）²≥4×1369×729，
∴2S-74×27≥2×37×27，
∴S≥2×37×27=1998，
∴△ABO面积的最小值是1998，
故选：D．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及一元二次方程根的判别式的应用，根据已知得出关于k的一元二次方程，进而利用根的判别式得出S的取值范围是解决问题的关键．