Question

【题目】如图，矩形OBCD位于直角坐标系中，点B(，0)，点D(0，m)在y轴正半轴上，点A(0，1)，BE⊥AB，交DC的延长线于点E，以AB，BE为边作ABEF，连结AE．

(1)当m＝时，求证：四边形ABEF是正方形．

(2)记四边形ABEF的面积为S，求S关于m的函数关系式．

(3)若AE的中点G恰好落在矩形OBCD的边上，直接写出此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)S＝m(m＞0)；(3)满足条件的F坐标为(，2)或(，4)．

【解析】

（1）只要证明△ABO≌△CBE，可得AB=BE，即可解决问题；
（2）在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB，证明△ABO∽△CBE，利用相似三角形的性质求出BE即可解决问题；
（3）分两种情形I.当点A与D重合时，II.当点G在BC边上时，画出图形分别利用直角三角形和等边三角形求解即可.

解：(1)如图1中，

∵m＝，B(，0)，

∴D(0，)，

∴OD＝OB＝，

∴矩形OBCD是正方形，

∴BO＝BC，

∵∠OBC＝∠ABE＝90°，

∴∠ABO＝∠CBE，∵∠BOA＝∠BCE＝90°，

∴△ABO≌△CBE，

∴AB＝BE，

∵四边形ABEF是平行四边形，

∴四边形ABEF是菱形，

∵∠ABE＝90°，

∴四边形ABEF是正方形．

(2)如图1中，

在Rt△AOB中，∵OA＝1，OB＝，

∴AB＝＝2，

∵∠OBC＝∠ABE＝90°，

∴∠OBA＝∠CBE，

∵∠BOA＝∠BCE＝90°，

∴△ABO∽△CBE，

∴，

∴ ，

∴BE＝m，

∴S＝ABBE＝m(m＞0)．

(3)①如图2中，当点A与D重合时，点G在矩形OBCD的边CD上．

∵tan∠ABO＝，

∴∠ABO＝30°，

在Rt△ABE中，∠BAE＝∠ABO＝30°，AB＝2，

∴AE＝，

∵AG＝GE，

∴AG＝，

∴G(，1)，设F(m，n)，

则有，，

∴m＝，n＝2，

∴F(，2)．

②如图3中，当点G在BC边上时，作GM⊥AB于M．

∵四边形ABEF是矩形，

∴GB＝GA，

∵∠GBO＝90°，∠ABO＝30°，

∴∠ABG＝60°，

∴△ABG是等边三角形，

∴BG＝AB＝2，

∵FG＝BG，

∴F(，4)，

综上所述，满足条件的F坐标为(，2)或(，4)．