Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

1

2

∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=2

5

，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接AE．欲证BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．

解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=

1

2

∠CAB．
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）过点C作CG，解：过点C作CG⊥AB于G．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=

AB2-BE2

=2

5

，
∴sin∠2=

AE

AB

=

2 5

5

，cos∠2=

BE

AB

=

5

5

，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴

GC

BF

=

AG

AB

∴BF=

GC•AB

AG

=

20

3

∴AF=

25

3

，
∴BD=

12

3

∴AD=3

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．