Question

如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点．DF⊥AE于F
（1）求证：ABE∽△DFA；
（2）求AF、DF的长；
（3）求S_{四边形CDFE}．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；

（2）解：∵AB=4，E是BC的中点，
∴AE==2，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴DF=，AF=；

（3）解：S_{四边形CDFE}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF=4²-×4×2-××
=16-4-3.2
=8.8．
分析：（1）已经有一对直角相等，只需再找一对锐角对应相等即可，由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，问题得证；
（2）先利用勾股定理求出AE，再根据△ABE∽△DFA得比例线段，然后求解；
（3）四边形CDFE的面积=正方形面积-两个直角三角形面积．
点评：此题重点考查相似三角形的判定和性质，涉及分割法求图形的面积问题，有一定的综合性，难度中等．