Question

阅读并解答问题：
在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做谐点．例如：图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在双曲线y=

b

x

，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根据和谐点的定义，把利用点M、N的坐标分别求得矩形OAMB、OANB的周长与面积进行验证即可；
（2）根据和谐点的定义和反比例函数系数k的几何意义列出关于方程，通过解方程可以求得a、b的值．

解答：解：（1）点M不是和谐点，点N是和谐点．
理由：∵M（l，2），
∴L=（1+2）×2=6，S=1×2=2，
∵L≠S，
∴M（l，2）不是和谐点；
∵N（4，4），
∴L=（4+4）×2=16，S=4×4=16，
∵L=S，
∴N（4，4）是和谐点；

（2）∵P（a，3）是和谐点，
∴（a+3）×2=3a，
解得a=6．
∴P（6，3）代入y=

b

x

，
得：b=6×3=18．
综上所述，a=6，b=18．

点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．经过函数的某点一定在函数的图象上．