Question

【题目】已知，如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的顶点为M (1，9), 经过抛物线上的两点A(－3，－7)和B (3, m)的直线交抛物线的对称轴于点C．

(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式；

(2)在抛物线上是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足足条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）点D或；（3）点或或，或，．

【解析】

（1）设二次函数表达式为：，利用顶点式即可求解；

（2）如图，设点，点，表示出DH，MC长度，根据，列方程求解即可；

（3）分是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的顶点为M (1，9)，

∴设二次函数解析式为：，

∵A(－3，－7)在抛物线上，

∴，

解得：，

故抛物线的表达式为：，

∵B (3, m)在抛物线上，

所以

∴点B的坐标为，

设直线AB解析式为，

∴，

解得，

∴直线的表达式为：；

（2）存在，理由：

由二次函数得对称轴为：，则点，

过点作轴的平行线交于点，

设点，点，

∴DH=，MC=9-1=8，

，

则，

解得：或5，

故点D或；

（3）设点、点，，

①当是平行四边形的一条边时，

点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，

∴点向左平移4个单位向下平移16个单位得到点，

∴t=-16,

则，

解得：或，

故点或；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，，

∵，

∴

解得：，

故点，或，；

综上，点或或，或，．