Question

【题目】问题提出

（1）如图①，在中，，求的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆的直径，是半圆的中点，点在上，且，点是上的动点，试求的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形的半径为在选点，在边上选点，在边上选点，求的长度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）．

【解析】

（1）如图1中，过点作，交延长线于点，通过构造直角三角形，求出BD利用三角形面积公式求解即可.

（2）如图示，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接、、，过点作，交延长线于点，确定点P的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ的长度即为答案.

（3）解图3所示，在上这一点作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN的长.

（1）如解图1所示，过点作，交延长线于点，

，

，

，交延长线于点，

为等腰直角三角形，且，

，

在中，，

，即，

，

，解得：，

，

．

（2）如解图2所示，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接、、，过点作，交延长线于点，

关于的对称点，交于点，

，

，

点为上的动点，

，

当点处于解图2中的位置，取最小值，且最小值为的长度，

点为半圆的中点，

，

，

，

，

，

在中，由作图知，，且，

，

，

由作图知，四边形为矩形，

，

，

，

的最小值为．

（3）如解图3所示，在上这一点作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，

点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于点，交于点，

，，，

，

．，

，

为上的点，为上的点

，

当点处于解图3的位置时，的长度取最小值，最小值为的长度，

，

，

．

扇形的半径为，

，

在中，，

的长度的最小值为．