Question

如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出下列五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S_△ABF=S_△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是

1. A.
   5个
2. B.
   4个
3. C.
   3个
4. D.
   2个

Answer 1

B
分析：①本题需先根据已知BE=2ED，得出，再根据AB=CD，即可得出结果．
②本题需先设出数据，再得出AG、AF等于多少，再求出这两个角的正切值是多少，及可求出结果．
③本题需先根据题意得出S_△ABF与S_△FCG的面积是多少，及可求出结果．
④本题先根据在Rt△AEF中，求出EF，AF的值，即可得出结论．
⑤证出Rt△ABF∽Rt△AOE，即可得到∠AFB=∠AEB．
解答：①∵BE=2DE
∴=
∴
∵AB=CD
∴DG=CD
∴DG=CG
故本选项正确
②设BF=1，则CF=2，AB=AD=3，DG=CG=
∴AG==
AF=
GF==
∴AF²+GF²=AG²
∴∠AFG=90°
∴tan∠AGF==
∴tan∠FGC=
∠FGC≠∠AGF
故本选项错误
③∵×

=
∴S_△ABF=S_FCG
故本选项正确
④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，
由②可知AF=，
∵BE=2ED，
∴BH=2HC，EH=CD=2，
又∵CF=2BF，
∴H为FC的中点，FH=1，
∴在Rt△HEF中：
∵EF=
==
AF=
∴AF=EF
故本选项正确．
⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，
∵，
∴Rt△ABF∽Rt△AOE，
∴∠AFB=∠AEB．
故本选项正确．
故选B．
点评：本题主要考查了正方形的性质，在解题时要注意知识的综合运用，借助图形是解题的关键．