Question

△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．

Answer 1

(1)证明见解析
(2)S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）²+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3
(3)此圆直径长为．

试题分析：（1）由已知可知∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，所以得证．
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，这两个三角形均为直角三角形，在△BDF与△CEF中，由三角函数可以用m表示出BD、DF、CE、EF的长，进而可得AD、AE的长，从而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．
（3）由已知易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．
试题解析：（1）:∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°==，cos60°==．
∵BF=m，
∴DF=m，BD=．
∵AB=4，
∴AD=4﹣．
∴S_△ADF=AD•DF
=×（4﹣）×m
=﹣m²+m．
同理：S_△AEF=AE•EF
=×（4﹣）×（4﹣m）
=﹣m²+2．
∴S=S_△ADF+S_△AEF
=﹣m²+m+2
=﹣（m²﹣4m﹣8）
=﹣（m﹣2）²+3．其中0＜m＜4．
∵﹣＜0，0＜2＜4，
∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．
∴S与m之间的函数关系为：
S═﹣（m﹣2）²+3（其中0＜m＜4）．
当m=2时，S取到最大值，最大值为3．
（3）如图2，

∵A、D、F、E四点共圆，
∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，
∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF=，
∴tan∠EAF=．
∴=．
∵∠C=60°，
∴=tan60°=．
设EC=x，则EF=x，EA=2x．
∵AC=a，
∴2x+x=a．
∴x=．
∴EF=，AE=．
∵∠AEF=90°，
∴AF==．
∴此圆直径长为．