题目内容

已知抛物线y＝x2＋4x＋m(m为常数)经过点(0，4)

(1)求m的值；

(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴(设为直线l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为l1)关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8．

①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；

②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)依题意得：02＋4×0＋m＝4，解得m＝4　　(3分)

　　(2)①由(1)得：y＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2，∴对称轴为直线l1：x＝－2　　(4分)

　　依题意得平移后的抛物线的对称轴为直线直线l2：x＝2　　(5分)

　　故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为y＝(x－2)2＋k　　(6分)

　　∵此函数最小值为－8，∴k＝－8

　　即平移后的抛物线所对应的函数关系式为y＝(x－2)2－8＝x2－4x－4　　(7分)

　　②存在．理由如下：

　　由①知平移后的抛物线的对称轴为直线l2：x＝2

　　当点P在x轴上方时，∵⊙P与x轴相切，故令y＝x2－4x－4＝3，

　　解得x＝2±　　(8分)

　　此时点P1(2＋，3)，P2(2－，3)与直线x＝2之距均为，

　　故点P1、P2不合题意，应舍去．　　(9分)

　　当点P在x轴下方时，∵⊙P与x轴相切，故令y＝x2－4x－4＝－3，

　　解得x＝2±　　(10分)

　　此时点P3(2＋，－3)，P4(2－，－3)与直线x＝2之距均为，

　　∵＜3，∴⊙P3、⊙P4均与直线l2：x＝2相间，

　　故点P3、P4符合题意．　　(11分)

　　此时弦AB＝2×

　　综上，点P的坐标为(2＋，－3)或(2－，－3)，

　　直线l2被⊙P所截得的弦AB的长为4　　(13分)


练习册系列答案
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已知抛物线y＝x2－3x－4，则它与x轴的交点坐标是                 .

 

已知抛物线y＝x2－3x－4，则它与x轴的交点坐标是                  .

 

如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是     ，b＝   ，c＝    ；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是     ，b＝   ，c＝    ；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

 

已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2011的值是    ▲    ．

 

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