Question

（2012•咸宁）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．
（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；
（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，继而求得CD的长；
（2）由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点．

解答：（1）解：∵BF与⊙O相切，
∴BF⊥AB．（1分）
而BF∥CD，
∴CD⊥AB．
又∵AB是直径，
∴CE=ED．（2分）
连接CO，设OE=x，则BE=9-x．
由勾股定理可知：CO²-OE²=BC²-BE²=CE²，
即9²-x²=6²-（9-x）²，
解得：x=7．（4分）
∴CD=2

CO2-OE2

=2

92-72

=8

2

．（5分）

（2）∵四边形BDCF为平行四边形，
∴BF=CD．
而CE=DE=

1

2

CD，
∴CE=

1

2

BF．（7分）
∵BF∥CD，
∴△AEC∽△ABF．（8分）
∴

AE

AB

=

EC

BF

=

1

2

．
∴点E是AB的中点．（9分）

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．