Question

如图，一次函数的图象过点P（1，2），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：设一次函数解析式为y=kx+b（k＜0），把P（1，2）代入得2=k+b，得b=2-k，则y=kx+2-k，利用坐标轴上的坐标特点用k表示出A与B的坐标，然后根据三角形的面积公式得到S_△OAB=

1

2

•

k-2

k

•（2-k），运用配方法得到S=

1

2

（

-k

-

2

-k

）²+4，即可得到△AOB面积的最小值．

解答：解：设一次函数解析式为y=kx+b（k＜0），
把P（1，2）代入得2=k+b，得b=2-k，
∴y=kx+2-k，
令y=0，则x=

k-2

k

；令x=0，则y=2-k，
∴A点坐标为（

k-2

k

，0），B点坐标为（0，2-k），
∴S_△OAB=

1

2

•

k-2

k

•（2-k）
=

1

2

•[（-k）+

4

-k

+4]
=

1

2

[（

-k

-

2

-k

）²+8]，
=

1

2

（

-k

-

2

-k

）²+4，
∴当

-k

-

2

-k

=0时，即k=-2，S_△OAB有最小值，其最小值为4．
所以△AOB面积的最小值为4．

点评：本题考查了一次函数的综合运用：利用待定系数法得到一次函数的解析式，然后表示出它与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式得到新得函数关系，然后运用配方法求出面积的最小值．