Question

如图，CE、CB是半圆O的切线，切点分别为D、B，AB为半圆O的直径．CE与BA的延长线交于点E，连接OC、OD．
（1）求证：△OBC≌△ODC；
（2）若已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，从a，b，c三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案：
①方案中你选用的已知数是

 

；
②写出求解过程（结果用字母表示）．

Answer 1

分析：解：（1）CD、CB是半圆O的切线根据切线的性质知，∠0DC=∠0BC=90°，又由于半径OP=半径OB，公共边OC=OC，由HL判定△OBC≌△ODC；
（2）在Rt△ODE中，由勾股定理，得OD²+DE²=OE²即a²+r²=（b+r）²，a²=b²+2br．解得r=

a2-b2

2b

，故可选用已知数为a、b．

解答：（1）证明：CD、CB是半圆O的切线，
∴∠0DC=∠0BC=90°．
又∴0D=0B，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC（HL）．

（2）解：（此题答案不唯一）
①方案中选用的已知数是a、b；
②在Rt△ODE中，由勾股定理，得a²+r²=（b+r）²
∴a²=b²+2br．r=

a2-b2

2b

；
①选用a、b、c，在Rt△BCE中用勾股定理得：r=

a2+2ac -b

2

；
②选用a、b、c，由Rt△0DE∽Rt△cBE得，r=

-b+ b2+8ac

4

；
③选用a、b、c，由连接AD，可证AD∥OC，得r=bc/a；
④若选a、c，可得r=

c a2+2ac

a+2c

．

点评：本题利用了切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求解，注意第（2）小题的答案不唯一．