Question

a、b、c都是实数，且a≠0，a+b=-2c，则方程ax²+bx+c=0

1. A.
   有两个正根
2. B.
   至少有一个正根
3. C.
   有且只有一个正根
4. D.
   无正根

Answer 1

B
分析：由a≠0，a+b=-2c，得b=-a-2c，得△=b²-4ac=（-a-2c）²-4ac=a²+4c²＞0，然后分别讨论：c=0，直接求出方程的解；a与c异号；a与c同号，通过根与系数的关系x₁x₂=，x₁+x₂=，则判断两根的正负．由此得到正确的选项．
解答：设方程两根分别为x₁，x₂，
由a≠0，a+b=-2c，得b=-a-2c，
∴△=b²-4ac=（-a-2c）²-4ac=a²+4c²＞0，
若c=0，则a+b=0，方程变为ax²-ax=0，解得x=0或1．
若a与c异号，则x₁x₂=＜0，即两根异号，所以原方程有一正根和一负根．
若a与c同号，由b=-a-2c可得a，b异号；
则x₁x₂=＞0，即两根同号；x₁+x₂=＞0，则方程一定有正根，所以原方程此时有两个正根．
综上所述原方程至少有一个正根．
故答案为B．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：x₁+x₂=，x₁x₂=．