Question

如图，直线AB过点A(3m，0)，B(0，n)，(m＞0，n＞0)，反比例函数y＝的图像与直线AB交于C、D两点，P为双曲线y＝上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．(1)用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；(2)若m＋n＝10，n为何值时S最大？并求出这个最大值；(3)若BD＝DC＝CA，求出C、D两点坐标；(4)在(3)的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x＝时，矩形PROQ的面积是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)S＝mn． 　　(2)由m＋n＝10，S＝(10－n)n＝－n2＋15n， 　　当n＝－＝5时，S最大＝． 　　(3)过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F． 　　由BD＝DC＝CA，则OF＝EF＝EA． 　　又∵OA＝3m，∴OE＝2m，OF＝m． 　　可设C(2m，y1)，D(m，y2)，又∵C、D在反比例函数y＝的图像上， 　　∴C(2m，)，D(m，1) 　　(4)设过O、D、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c， 　　把O、D、C三点坐标代入解析式，得解得 　　该抛物线的对称轴为x＝－＝－＝＝， 　　∴m＝1，P点在反比例函数图像上，∴S矩形OQPR＝m＝1． 　　分析：(1)由于OA＝3m，OB＝n，则S＝OA·OB＝·3m·n＝mn． 　　(2)只要把m＋n＝10代入S＝mn，就可以讨论n与S的关系． 　　(3)当BD＝DC＝CA时，D、C分别是BA上的三等分点，且C、D在y＝上，则可以利用字母m，写出C、D的坐标． 　　(4)若过O、D、C三点抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则利用O、D、C的坐标可以求出式子中的a、b、c，正因为D、C的坐标中含有m这一字母，a、b、c的值也是由m表示的，这里再通过“对称轴为这一条件”可以求出m的值，进而求出矩形OQPR的面积．