Question

如图，直线AB过点A（4，0）、B（0，3）．反比例函数y=

p

x

（p＞0）的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）求直线AB的解析式．
（2）若△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法把A（4，0）、B（0，3），代入函数关系式中，解出k、b的值即可得到函数关系式；
（2）根据A、B点坐标得到△AOB的面积，由△AOC、△COD、△DOB的面积都相等可得S_△AOC=

1

3

S_△AOB，即可得到

1

2

OA×CF=

1

3

×

1

2

OA×OB，代入相应线段的长即可求出CF的长，也就得到C点的纵坐标，再把C点的纵坐标代入直线AB的解析式中可以算出C点的横坐标，把C点的坐标代入反比例函数关系式即可得到答案．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（4，0）、B（0，3），
∴

4k+b=0 b=3

，
解得：

k=- 3 4 b=3

，
∴直线AB的解析式为y=-

3

4

x+3；

（2）过点C分别作x轴的垂线，垂足是点F，
当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，
有S_△AOC=

1

3

S_△AOB，
即

1

2

OA×CF=

1

3

×

1

2

OA×OB，

1

2

×4×CF=

1

3

×

1

2

×4×3，
解得：CF=1，
即C点的纵坐标为1，
把C点的纵坐标代入y=-

3

4

x+3中，
-

3

4

x+3=1，
解得：x=

8

3

，
∴C（

8

3

，1），
把C（

8

3

，1）代入反比例函数y=

p

x

中得：p=

8

3

，
∴反比例函数的解析式是：y=

8

3x

．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，解决问题的关键是掌握已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．