Question

如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

(2)设△BPQ的面积为S(cm²)，求S与t的函数关系式；

(3)作QR∥BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)△BPQ是等边三角形，当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，所以BP＝AB－AP＝6－2＝4，所以BQ＝BP．又因为∠B＝600，所以△BPQ是等边三角形． 　　(2)过Q作QE⊥AB，垂足为E，由QB＝2y，得QE＝2t·sin600＝t，由AP＝t，得PB＝6－t，所以S△BPQ＝×BP×QE＝(6－t)×t＝－t2＋3t； 　　(3)因为QR∥BA，所以∠QRC＝∠A＝600，∠RQC＝∠B＝600，又因为∠C＝600，所以△QRC是等边三角形，所以QR＝RC＝QC＝6－2t．因为BE＝BQ·cos600＝×2t＝t，所以EP＝AB－AP－BE＝6－t－t＝6－2t，所以EP∥QR，EP＝QR，所以四边形EPRQ是平行四边形，所以PR＝EQ＝t，又因为∠PEQ＝900，所以∠APR＝∠PRQ＝900．因为△APR～△PRQ，所以∠QPR＝∠A＝600，所以tan600＝，即，所以t＝，所以当t＝时，△APR～△PRQ