Question

在平面直角坐标系中，抛物线的解析式是

，点的坐标是，平行四边形的顶点在抛物线上，与轴交于点，已知点在抛物线上，点在轴上.

（1）写出点的坐标；

（2）当四边形是以为腰的梯形时.

① 求关于的函数解析式和自变量的取值范围；

② 当梯形的两底的长度之比为时，求的值.

Answer 1

解：（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4.

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴ A，B的横坐标分别是2和– 2.

代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，∴M (0，2).            ………2分

（2） ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H，则HQ = y ，HP = x–t ，

由△HQP∽△OMC，得：, 即：t = x – 2y.

∵ Q(x,y) 在y = +1上，∴ t = –+ x –2.                 

                                   

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±；

当Q与B或A重合时，四边形CMQP为平行四边形，此时，x = ± 2.

∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数.                  ………6分                      

② 分两种情况讨论：

 1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，                                                             

 ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 .∴t =+ 0 –2 = –2  .                              ………7分                                         

2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上， ∵CM∥PQ，CM = PQ，

∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得：x = ±.                                                 

当x = –时，得t =––2 = –8 –；           ………8分

当x =时， 得t =–8.                                    ………9分