Question

在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．

Answer 1

分析：根据正方形的性质可知：△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质，BE=AF，AE=DF，得出BE-DF=EF；
同理可得出图（2）DF-BE=EF；图（3）中的DF+BE=EF．

解答：解：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF．

（2）对图①中结论证明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

点评：主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．