Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有　　个．

Answer 1

考点：

菱形的性质；等腰三角形的性质．

专题：

证明题．

分析：

首先可以确定的P点有3个：①以O为圆心OE为半径作圆，与BD交于两点，都符合P点的要求；②连接OE，OE的中垂线交BD于一点，此点也符合P点要求；

然后连接OE，过E作OD的垂线EF，易得EF是△AOD的中位线，结合菱形的性质可证得EF垂直平分OD，因此OE=DE，即D点也符合P点的要求，所以共有4个点P．

解答：

解：如图①，首先可以确定的P点有三个：

一、以O为圆心OE为半径作圆，⊙O交BD于P₁、P₂；

二、连接OE，作OE的垂直平分线，交BD于P₃；

如图②，连接OE，过E作EF⊥OD于F；

由于四边形ABCD是菱形，故AO⊥OD，即EF∥AO；

又∵E是AD中点，

∴F是OD的中点，

∴EF是△AOD的中位线，

即EF垂直平分OD，

∴OE=DE，故D点符合P点的要求；

综上所述，符合条件的P点有4个．

故答案为4．

点评：

此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的判定，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．