题目内容

如图，抛物线y=x²-（m+2）x+3（m-1）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴负半轴交于点C，且S_△BOC=3S_△AOC，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使∠PCB=∠CAB-∠ABC？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径作⊙O₁交y轴于M，N两点，E为A点左侧x轴上的一个动点，F为EM的中点，NA的延长线交O₁F于点Q．当E点运动时，给下列两个结论：① $数学公式$ 的值不变；②AQ•O₁E的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你选择正确的结论证明并求值．

解：（1）∵S_△BOC=3S_△AOC，
∴OB=3OA，
∵B（3，0），
∴A点坐标为（-1，0），
∴1+（m+2）+3（m-1）=0，
解得m=0，
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）假设存在点P，
则在△PCB中，∠PCB=∠APC-∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵∠PCB=∠CAB-∠ABC，
∴∠CAB=∠APC，
∴AC=PC，
又CO⊥AP，
∴AO=PO（等腰三角形三线合一），
∴点P的坐标为（1，0）；
故存在点P（1，0），使∠PCB=∠CAB-∠ABC；

（3）当E点运动时，AQ•O₁E的值不变．
∵A（-1，0），B（3，0），
∴ $\text{[math]}$ =1，
∴圆心坐标为O₁（1，0），
∴OM=ON= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点MN的坐标为M（0， $\text{[math]}$ ），N（0，- $\text{[math]}$ ），
设点E坐标为（2a，0），则点F坐标为（a， $\text{[math]}$ ），
设直线O₁F的解析式为y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线O₁F的解析式为：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ①，
又点A、N的坐标为A（-1，0），N（- $\text{[math]}$ ，0），
∴直线AN的解析式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ②，
①②联立得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴点Q坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴AQ= $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |，
又∵O₁E=1-2a，
∴AQ•O₁E=| $\text{[math]}$ |•（1-2a）=4的值不变．
即当E点运动时，AQ•O₁E的值不变，不变值为4．
分析：（1）根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比，由S_△BOC=3S_△AOC可知，OB=3OA，根据B（3，0）可得A（-1，0），然后把点A坐标代入函数表达式即可求出m的值，抛物线关系式即可求出；
（2）根据三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，只要∠APC=∠CAB即可，即PC=AC，然后求出点P的坐标；
（3）先分别求出点M、N的坐标，设点E的坐标为（2b，0），根据点F为EM的中点表示出点F的坐标，然后利用待定系数法分别求出直线O₁F与NQ的解析式，从而点Q的坐标可得，再利用两点之间距离公式求出AQ的长度，而O₁E=1-2b，从而便可确定正确的结论并求出其值．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的外角性质，等腰三角形三线合一的性质以及两点间距离的求法，并且运算量较大，需要小心计算，以避免出错，此题难度较大．