题目内容
（1）已知矩形A的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决．小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足x+y=6，xy=4．请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程；（2）已知矩形A的长和宽分别是2和1，那么是否存在一个矩形C，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？
分析：（1）根据函数的交点的性质可知，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=
联立方程组可知，有解，所以这样的交点存在，即满足要求的矩形B存在．
（2）如果用x，Y分别表示矩形的长和宽，那么矩形C满足x+y=
，xy=1，而满足要求的（x，y）可以看作一次函数y=-x+
的图象与反比例函数y=
的图象在第一象限内交点的坐标．画图或联立方程组可知，这样的交点不存在，即满足要求的矩形C是不存在的．
| 4 |
| x |
（2）如果用x，Y分别表示矩形的长和宽，那么矩形C满足x+y=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| x |
解答：
解：（1）点（x，y）可以看作一次函数y=-x+6的图象在第一象限内点的坐标，
点（x，y）又可以看作反比例函数y=
的图象在第一象限内点的坐标，
而满足问题要求的点（x，y）就可以看作一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=
的图象在第一象限内交点的坐标．
分别画出两图象（如右图），从图中可看出，这样的交点存在，即满足要求的矩形B存在．
（2）不同意小明的观点．
如果用x，y分别表示矩形的长和宽，
那么矩形C满足x+y=
，xy=1，
而满足要求的（x，y）可以看作一次函数y=-x+
的图象与反比例函数y=
的图象在第一象限内交点的坐标．
画图（如右图）可看出，这样的交点不存在，即满足要求的矩形C是不存在的．
所以不同意小明的观点．
解：（1）点（x，y）可以看作一次函数y=-x+6的图象在第一象限内点的坐标，点（x，y）又可以看作反比例函数y=
| 4 |
| x |
而满足问题要求的点（x，y）就可以看作一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=
| 4 |
| x |
分别画出两图象（如右图），从图中可看出，这样的交点存在，即满足要求的矩形B存在．
（2）不同意小明的观点．
如果用x，y分别表示矩形的长和宽，
那么矩形C满足x+y=
| 3 |
| 2 |
而满足要求的（x，y）可以看作一次函数y=-x+| 3 |
| 2 |
| 1 |
| x |
画图（如右图）可看出，这样的交点不存在，即满足要求的矩形C是不存在的．
所以不同意小明的观点．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
练习册系列答案
相关题目
地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于
24、学校计划用地砖铺设教学楼前的矩形广场ABCD，已知矩形广场的长为100米，宽为60米图案如图所示：广场四角为矩形，阴影部分为矩形，中心为正方形．阴影部分铺设绿色地砖，其余铺设白色地砖．点O在矩形ABCD内可随意运动，已知矩形ABCD的长为4，宽为3，则O到点A的距离不超过1的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、1-
|